Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Докажите, что данное число являтся составным». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
Простые числа. Делители
Из книги Паоло Джордано The Solitude of Prime Numbers («Одиночество простых чисел»):
Простые числа делятся только на единицу и самих себя. Они занимают свое место в бесконечном ряду простых чисел, которые, как и остальные числа, зажаты между двумя другими, но на один шаг дальше, чем предыдущие. Эти числа подозрительны и одиноки, и Маттиа казалось, что они волшебные. Иногда он думал, что они очутились в этом ряду по ошибке, как жемчужины, нанизанные на нитку ожерелья. А порой ловил себя на мысли, что они тоже предпочли бы быть обычными числами, однако по какой-то причине не сложилось. […]
Простые числа — атомы арифметики. Согласно греческому происхождению слова «атом», простые числа являются «атомными», то есть «неделимыми». И подобно тому как все сложено из атомов, каждое число слагается из простых чисел. Например, 60 равно 2 × 2 × 3 × 5. Мы говорим, что 60 — это составное число, и его можно представить в виде произведения простых множителей 2 (дважды), 3 и 5.
А как быть с 1? Это простое число? Нет. И когда мы поймем это, то узнаем, почему 1 — самое одинокое число, даже более одинокое, чем любое простое число.
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Расширенный алгоритм Евклида*
Очень важным для математики свойством наибольшего общего делителя является следующий факт:
Для любых целых \(a, b\) найдутся такие целые \(x, y\), что \(ax + by = d\), где \(d = \gcd(a, b)\).
Из этого следует, что существует решение в целых числах, например, у таких уравнений: * \(8x + 6y = 2\) * \(4x — 5y = 1\) * \(116x + 44y = 4\) * \(3x + 11y = -1\)
Мы сейчас не только докажем, что решения у таких уравнений существуют, но и приведем быстрый алгоритм нахождения этих решений. Здесь нам вновь пригодится алгоритм Евклида.
Выражение \(a \equiv b \pmod m\) означает, что остатки от деления \(a\) на \(m\) и \(b\) на \(m\) равны. Это выражение читается как «\(a\) сравнимо \(b\) по модулю \(m\)».
Еще это можно опрделить так: \(a\) сравнимо c \(b\) по модулю \(m\), если \((a — b)\) делится на \(m\).
Все целые числа можно разделить на классы эквивалентности — два числа лежат в одном классе, если они сравнимы по модулю \(m\). Говорят, что мы работаем в «кольце остатков по модулю \(m\)», и в нем ровно \(m\) элементов: \(0, 1, 2, \cdots, m-1\).
Сложение, вычитение и умножение по модулю определяются довольно интуитивно — нужно выполнить соответствующую операцию и взять остаток от деления.
С делением намного сложнее — поделить и взять по модулю не работает. Об этом подробнее поговорим чуть дальше.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.
Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Что такое «решето Эратосфена»
Решето Эратосфена — это метод нахождения всех простых чисел до заданного числа. Этот метод был придуман древнегреческим ученым Эратосфеном, который был известен своими работами в области геометрии, астрономии и математики. Суть метода Решета Эратосфена заключается в последовательном отсеивании составных чисел, начиная с числа 2, которое является первым простым числом. Сначала мы выписываем все числа от 2 до заданного числа в ряд, затем вычеркиваем все кратные 2 числа, оставляя только 2 как простое число. Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу, которое будет простым числом, и вычеркиваем все его кратные числа. И так далее, пока не достигнем заданного числа. Например, для того, чтобы найти все простые числа до 30, мы выписываем все числа от 2 до 30: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Затем мы начинаем вычеркивать все кратные числа 2, оставляя только 2: 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (3) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 3: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (5) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 5: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 И так далее, пока не достигнем заданного числа. В итоге мы получим все простые числа до заданного числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Метод Решета Эратосфена является эффективным способом нахождения всех простых чисел до заданного числа, особенно если заданное число большое.
Сейчас мы обсудим способы составления таблиц простых чисел. Предположим, что нам нужно составить таблицу простых чисел до 100 .
Самым очевидным методом решения этой задачи является последовательная проверка целых положительных чисел, начиная с 2 , и заканчивая 100 , на наличие положительного делителя, который больше 1 и меньше проверяемого числа (из свойств делимости мы знаем, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого, отличного от нуля). Если такой делитель не найден, то проверяемое число является простым, и оно заносится в таблицу простых чисел. Если же такой делитель найден, то проверяемое число является составным, оно НЕ заносится в таблицу простых чисел. После этого происходит переход к следующему числу, которое аналогично проверяется на наличие делителя.
Опишем несколько первых шагов.
Начинаем с числа 2 . Число 2 не имеет положительных делителей, кроме 1 и 2 . Следовательно, оно простое, поэтому, заносим его в таблицу простых чисел. Здесь следует сказать, что 2 является наименьшим простым числом. Переходим к числу 3 . Его возможным положительным делителем, отличным от 1 и 3 , является число 2 . Но 3 на 2 не делится, поэтому, 3 – простое число, и его также нужно занести в таблицу простых чисел. Переходим к числу 4 . Его положительными делителями, отличными от 1 и 4 , могут быть числа 2 и 3 , проверим их. Число 4 делится на 2 , поэтому, 4 – составное число, и его не нужно заносить в таблицу простых чисел. Обратим внимание на то, что 4 – наименьшее составное число. Переходим к числу 5 . Проверяем, являются ли его делителем хотя бы одно из чисел 2 , 3 , 4 . Так как 5 не делится ни на 2 , ни на 3 , ни на 4 , то оно простое, и его надо записать в таблицу простых чисел. Дальше происходит переход к числам 6 , 7 , и так далее до 100 .
Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости , которые немного ускорят процесс поиска делителей.
Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый . Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.
Покажем решето Эратосфена в действии при составлении таблицы простых чисел до 50 .
Сначала записываем по порядку числа 2, 3, 4, …, 50 .
Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
8 : 2 = 4
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
9 : 3 = 3
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10 : 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.
Данное определение содержит переменную a. Подставим вместо этой переменной любое число, например число 12 и прочитаем определение:
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Попробуем перечислить эти числа:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Примеры:
10 : 5 = 2
100 : 5 = 20
100 : 2 = 50
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Значение составных чисел — пример
ПРИМЕР. Предположим, вы хотите знать, будет ли понедельник 26 апреля благоприятным днем для выполнения некоторых дел. Например, стоит ли просить повышения зарплаты.
Возьмем числа, соответствующие каждой букве вашего имени, добавим к общей их сумме составное число (или его однозначную основу), полученное сложением однозначных чисел даты 26 апреля (2 плюс 6 равно 8); добавим эту восьмерку к сумме чисел вашего имени и сумме чисел вашего рождения.
Посмотрите на значение получившегося числа, и вы поймете, является ли 26 апреля благоприятным днем или нет.
Если вы видите, что счастливого числа не получается, выберите следующий день, или еще один следующий — пока не дойдете до благоприятной даты.
Назначьте свои действия на эту дату, и вы обнаружите, что день, вычисленный таким образом, действительно является для вас благоприятным.
Предположим, ваше имя RAJIV GANDHI, а родились вы 13 мая.
ПРИМЕР: Прибавляем 2 и 1, получаем 3. К 3 вы прибавляете 8 (полученное из даты 26 апреля). Это дает нам составное число 11 (3 + 8), если свести к однозначному числу — то 2. Прибавляем это число к числу вашего рождения 13. Получаем 15.
Теперь посмотрим значение составного числа 15: для добывания денег, даров и благосклонности со стороны вышестоящих — это благоприятное число.
Таким образом, оккультное влияние на человека по имени RAJIV GANDHI, родившегося 13 мая, таково, что 26 апреля ему подходит для поиска благосклонности со стороны вышестоящих лиц, а также для осуществления планов.
Если эта дата не показывает благоприятного отношения к нужной вам деятельности, проверьте следующую, потом следующую — пока, наконец, не найдете благоприятную.
Используя другой подход к значению имени и составляющих его чисел, мы можем получить еще одно значение имени RAJIV GANDHI.
Сумма вибраций части имени RAJIV- 11, а части имени GANDHI — 19. Это означает, что сумма вибраций полного имени равна 30, и нужно найти значение этого числа, а оно таково.
Число глубоких выводов, размышлений о прошлом, духовного превосходства над окружающими, но поскольку оно принадлежит, как видно, только духовному плану, люди, которых оно представляет, должны, вероятно, видеть только определенный аспект материальных вещей не потому что должны, а потому, что они так хотят.
Поэтому это число ни счастливое, ни несчастливое — все зависит от взгляда человека, которого оно представляет. Число может нести мощь и силу, но часто равнодушно по отношению к воле и желаниям человека.
Статьи журнала starfate » Нумерология » Что такое составные числа в Нумерологии
Что такое составные числа
Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.
Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.
13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.
По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.
Задачи на простые и составные числа
1. Известно, что р, р + 10, р + 14 – простые числа. Найдите число р.
- 2. Докажите, что число
- а) 210 + 512;
- б) n4 + 64;
- в) 4545 + 5454;
- является составным.
3. Найдите все простые р для которых число р2 + 14 так же будет простым числом.
4. Докажите, что уравнение х2 + х + 1 = р·у имеет решение в целых числах (х, у) для бесконечного числа простых р.
5. Введём обозначение для суммы первых n простых чисел через Sn:
Sn = 2 + 3 + 5 + . . . + рn.
Докажите, что между числами Sn и Sn+1 всегда существует число, являющееся полным квадратом.
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Давайте же начнём!
- Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
- Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
- Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Первое число, у которого всего два делителя, — это простое число. А вот такие числа, как 9 и 18, называют составными числами.
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Есть число, которое не относится ни к первым, ни ко вторым. Это число 1. Оно имеет всего один делитель — само это число.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
- простые имеют всегда пару делителей: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т.д.
- составные имеют всегда три или больше делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т.д.
- единица (1) со своим единственным делителем
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
- А) один делитель
- Б) два делителя
- В) больше двух делителей
- Решение:
- Число 1 имеет один делитель: 1
- Число 7 имеет два делителя: 1, 7
- Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
- Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Число 13 имеет два делителя: 1, 13
- Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Ответ:
- А) один делитель- 1
- Б) два делителя- 7, 13
- В) больше двух делителей- 10, 12, 24
- Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
- Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
- Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
- Найдите все делители для составных чисел.
- Решение:
- Простые: 2, 17, 127
- Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
- Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
- Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
- Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
- Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
- Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
Простое число – это положительное натуральное число, которое имеет только два положительных натуральных делителя: единицу и самого себя.
Противоположностью простых чисел являются составные числа. Составное число – это положительное натуральное число, которое имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от одного или самого себя.
Взаимно простые числа – числа A и B, не имеющие никаких общих делителей, за исключением единицы.
- Число 2 является простым числом, т.к.
имеет всего два делителя – 1 и 2:
- Число 15 не является простым числом, потому имеет делители – 1, 3, 5, 15:
- 15/1 = 15
- 15/3 = 5
- 15/5 = 3
- 15/15 = 1
- Число 13 является простым числом, т.к.
имеет только два делителя – 1 и 13:
- Числа 2 и 5 являются взаимно простыми, т.к. имеют только один общий делитель – число 1:
- 2/1 = 2
- 2/2 = 1
- 5/1 = 5
- 5/5 = 1
Простое число – это положительное целое число больше 1, которое можно без остатка поделить только на 1 и на само себя. Чтобы определить является ли число простым, необходимо его поделить на 2, затем на 3, 4, … n, до тех пор, пока n не станет равным самому числу. Если это число разделится без остатка только на само себя, то оно является простым.
Математика Эратосфена. Простые и составные числа
Решето Эратосфена — это специальный алгоритм, который позволяет определять все простые числа до целого заданного натурального числа N. Само название методики содержит основной принцип ее функционирования. «Решето» представляет собой «фильтр», пропускающий все ненужные числа, кроме простых.
Так, при составлении «решета» – таблицы, необходимо учитывать, что для выполнения задачи важна проверка чисел в последовательном порядке – начиная с двух и до 100, 1000 и т.д. Если у числа невозможно разложить на простые множители и делители отсутствуют – оно фиксируется в таблице, а если оно является натуральным составным числом, значит необходимо его исключить.
Составляя таблицу простых чисел в привычном порядке приходится поэтапно рассматривать каждую цифру. Необходимо начать с 2 – у нее можно выделить два делителя (1 и 2), поэтому оно является простым числом и может быть занесено в таблицу. Число 2, также, заносим в таблицу. Число 4 можно разложить на простые множители 2 и 2, а значит, в таблице его быть не должно, поскольку оно является составным. А 5 имеет всего два делителя, соответственно, оно фиксируется в таблице. Так, поочередно рассматривается каждое число, вплоть до 100, 1000, 10000 и т, д.
Данная методика является понятной, но весьма долгой и неудобной. Именно решето Эратосфена принято считать оптимальным алгоритмом. Далее, на примере приведенных таблиц будет рассмотрен сам алгоритм.
Найдем все простые натуральные числа от 2 до 50. Для начала, в таблицу заносятся все числа, которые располагаются в указанном числовом ряду
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 12 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |